數(shù)字、數(shù)學(xué)與人類進(jìn)化

鄭磊/文

人類文明是伴隨著語言、文字和數(shù)字一起發(fā)展的。在語言誕生之前，表情和動(dòng)作曾經(jīng)是溝通的手段，而數(shù)字可能來自計(jì)數(shù)的需要。古人類即使不需要與人溝通，也需要數(shù)數(shù)，因此早在37000年前就發(fā)現(xiàn)了人類刻在木棒、石板上的用來計(jì)數(shù)的刻痕。從計(jì)數(shù)到數(shù)字，再到進(jìn)位制、代數(shù)、幾何，一直到近代數(shù)學(xué)，這是人類大腦發(fā)育的另一條主線。很多人都害怕數(shù)學(xué)，這不奇怪，因?yàn)閹兹f年發(fā)展出的這個(gè)知識(shí)體系，很多人并不需要全部掌握，滿足人類基本日常需要的數(shù)學(xué)概念和方法并不多。如果要對(duì)數(shù)學(xué)這個(gè)體系有個(gè)籠統(tǒng)的了解，建議閱讀《極簡(jiǎn)數(shù)學(xué)史》這本小冊(cè)子，其最大特點(diǎn)是“簡(jiǎn)”到每章只有3-5頁，里面還配了大量彩圖和歷史小知識(shí)，生動(dòng)有趣，能夠基本滿足普通讀者了解數(shù)學(xué)概貌的需求。在讀完這本小書之后，如果還有興趣的話，我推薦另一本由數(shù)學(xué)史專家莫里斯·克萊因撰寫的更全面、更專業(yè)的《數(shù)學(xué)簡(jiǎn)史：確定性的消失》。

大家可能已經(jīng)很難記起小時(shí)候?qū)W算術(shù)遇到的困難了，但是在幼童時(shí)期，人已經(jīng)有了數(shù)量多少的概念，然后大人會(huì)教小孩先用5個(gè)手指理解1-5對(duì)應(yīng)的物品，而數(shù)字其實(shí)是抽象的，從具體數(shù)量的物品到適用一切物品的可以獨(dú)立使用的數(shù)字1-5，是一個(gè)認(rèn)知跨越。然后幼兒又學(xué)會(huì)了數(shù)6-10，正好可以用兩只手來計(jì)數(shù)。這就為學(xué)習(xí)十進(jìn)制打好了基礎(chǔ)，然后學(xué)習(xí)兩位數(shù)加法、減法，九九乘法表。現(xiàn)在的幼兒教育很發(fā)達(dá)，而在幾十年前，小學(xué)二三年級(jí)才能學(xué)會(huì)這些簡(jiǎn)單的算術(shù)知識(shí)。這個(gè)過程只是現(xiàn)代人繼承古人很早以前發(fā)明的東西，可以想象先民在幾千年前遇到的難度更大。數(shù)學(xué)發(fā)展最快的地區(qū)也是人類文明起源最早的地區(qū)，在兩河地區(qū)，蘇美爾人在公元前4000年就開始使用六十進(jìn)制了，最巧妙的是，他們只使用了7個(gè)符號(hào)。至今人們找不到六十進(jìn)制在日常生活中的參照物，唯一知道的是當(dāng)時(shí)的古巴比倫已經(jīng)是農(nóng)業(yè)和商業(yè)最發(fā)達(dá)的地區(qū)。在它的附近，古希臘、古埃及，以及古人類遷移較早到達(dá)的印度地區(qū)都出現(xiàn)了高超的數(shù)學(xué)大師，比如畢達(dá)哥拉斯、泰勒斯、花剌子模、婆羅摩笈多等。阿拉伯?dāng)?shù)字也來自印度。古埃及人很早就知道如何解一元一次方程，古巴比倫人已經(jīng)能夠解出二次方程和三次方程。

從具象的物品到抽象的數(shù)字需要幾萬年時(shí)間，又經(jīng)過了近千年，才跨越到用字母表示的抽象代數(shù)運(yùn)算的階段。阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家、天文學(xué)家、地理學(xué)家Alkhwarizmi發(fā)明了移項(xiàng)與合并同類項(xiàng)，在這個(gè)基礎(chǔ)上他撰寫了一本現(xiàn)在稱作Algebra的書。有趣的是這位數(shù)學(xué)家的名字經(jīng)過各種語言轉(zhuǎn)譯，在英語里寫作ALGORITHM，也就是我們常說的“算法”一詞。ALGEBRA（代數(shù)學(xué)）在西班牙語里加了一個(gè)代表職業(yè)的后綴ista，變成ALGEBRISTA，指的卻是“接骨師”，倒是與移項(xiàng)有異曲同工之妙。作者用非常通俗易懂的話寥寥數(shù)筆就基本解釋了一種數(shù)學(xué)方法，比如傅里葉分析被說成是將任何復(fù)雜波形分解為各種正弦波的過程。只要學(xué)過一些初等數(shù)學(xué)都能夠理解。

對(duì)于空間的認(rèn)知，顯然也屬于數(shù)學(xué)發(fā)展的范疇。一維到三維都很容易理解，其實(shí)人類生活在四維空間里，人類能夠感知時(shí)間以及事物隨時(shí)間的變化，這就是四維的認(rèn)知。維度N大于4的空間就只能依靠推理了。人們依靠降維方法理解高維空間。比如在給定的時(shí)間，你可以得到一個(gè)三維的物品，你可以切開它，觀察剖面，這是二維的，還可以用尺子在這個(gè)面上畫一條線，得到一維圖像，這個(gè)過程經(jīng)過了三次降維。立體幾何習(xí)題也是通過降維變成平面幾何題才能進(jìn)行求解。

隨機(jī)性是另一個(gè)較深?yuàn)W的數(shù)學(xué)概念，需要先學(xué)習(xí)排列組合知識(shí)，這也是數(shù)學(xué)考試最容易出錯(cuò)的部分。概率論的大數(shù)定律和中心極限定理都很抽象，但是作者用拋擲硬幣簡(jiǎn)單地給出了一個(gè)大家都知道的結(jié)果：拋的次數(shù)越多，正反兩面出現(xiàn)的次數(shù)越接近對(duì)半。而對(duì)于一個(gè)方差有限的總體，你隨機(jī)抽取的樣本數(shù)量越大，樣本的分布圖形越類似對(duì)稱的鐘形曲線，用樣本計(jì)算的平均值越接近總體均值。而作者給出的經(jīng)驗(yàn)是抽樣數(shù)量應(yīng)該不少于30個(gè)。這個(gè)小知識(shí)很有用，如果你想知道一大堆物品的某個(gè)指標(biāo)的平均值，只需要隨機(jī)從中抽取不少于30個(gè)樣品進(jìn)行測(cè)量，畫出分布曲線，算出平均值，基本就可以掌握這個(gè)情況了。數(shù)學(xué)很難，但是每個(gè)人都應(yīng)該懂一些基本的知識(shí)。