數(shù)學(xué)語境的時空之美

鄭磊/文

      人類生活的四維空間可以想象成一幅動圖，我們能看到的最復(fù)雜形狀是立體的，隨著時間變化，這個物體會呈現(xiàn)出不同的樣子。我們眼睛看到的，心里涌現(xiàn)的快樂，都來源于生活中的美。而音樂、數(shù)學(xué)、語言就是表現(xiàn)美的工具和載體。數(shù)學(xué)表現(xiàn)時空之美的工具就在公式和圖形之中。

      數(shù)學(xué)之美不容易被人們欣賞，一個重要原因是缺少通俗闡釋和展現(xiàn)這種美的科普作品。彩色印刷的《迷人的圖形》和《公式之美》巧妙地將自然界的美妙形態(tài)，用大眾容易理解的幾何圖形和代數(shù)公式，短小有趣的軼事和高清晰度照片展示出來。兩本書不僅提高大眾審美，普及了數(shù)學(xué)知識，也有助于提升讀者對數(shù)學(xué)的興趣。

圖形之美在于對稱，公式之美在于簡潔。方和圓大概是最早被人們認(rèn)識的圖形，而點、線、面和整數(shù)、分?jǐn)?shù)、有理數(shù)、無理數(shù)這些則是高度抽象化的數(shù)學(xué)概念。古人在用直桿或巨石測量太陽的影子，確定白晝的時間變化時，幾何學(xué)的勾股定理（在西方稱作畢達(dá)哥拉斯定理）逐步成形。這種由三條邊構(gòu)成的特殊形狀用公式表達(dá)為a^2+b^2=c^2。平方運算對應(yīng)了正方形的大小，自然而然引出了一個問題：面積為2的正方形，邊長是多大？記得在第一次碰到這個問題時，老師給出的答案是[~公式~]。這當(dāng)然沒錯，但是沒有任何意義，因為這只是一個記號。直到知道這個數(shù)字是一個有無限位數(shù)的小數(shù)，不能表示為兩個整數(shù)的比值時，我們才學(xué)到了新知識——這是一個無理數(shù)。有幾個無理數(shù)特別重要，里面藏著宇宙的秘密，它們就是圓周率π和歐拉公式里的e。

方形可以看作是兩個直角三角形拼湊在一起，而圓形其實也可以從直角三角形延伸出來。公元前3世紀(jì)，阿基米德發(fā)現(xiàn)了直角三角形和圓形的關(guān)系：如果一條直角邊和圓的半徑等長，另一條直角邊的長度和圓的周長相等，那么這個直角三角形的面積就和圓的面積一樣大。這個認(rèn)識來自對圓周長的測量。想象一下我們怎樣測量一段彎曲的線，一個簡單的方法就是用連接曲線兩個端點的很短的直線段的長度近似代替，當(dāng)這個線段取得足夠短時，測量的誤差會在可以接受的范圍。所以我們在圓周上做出很多頭尾相連的線段，然后和圓心連起來，就得到了很多個等腰三角形（每一個都可以分拆成兩個直角三角形）。耐人尋味的是，中國古人的數(shù)學(xué)在當(dāng)時也非常先進，成書于阿基米德年代之前的《九章算術(shù)》就用實例給出了圓面積計算方法。

從對圓周的測量開始，人類又發(fā)現(xiàn)了一個新思想——無限接近，這其實就是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中“極限”概念的一個應(yīng)用。微積分是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，但是很多人在學(xué)到極限概念時，已經(jīng)覺得深奧難懂了。以圓周測量為例，當(dāng)那種以圓心為頂點的三角形變成無窮多個時，三角形底邊就會和圓周上的弧線完全重合。這個過程就是無限細(xì)分，是一個思想實驗，把對方切成無限多的份數(shù)，然后再加總，就從大致等于上升到了精確相等。從極限可以引出微分和積分運算，用微分計算可以定義速度、加速度和力，從牛頓力學(xué)開始，在數(shù)學(xué)的幫助下，物理學(xué)走上了科學(xué)道路。

有“最美等式”之稱的e^iπ+1=0最能體現(xiàn)數(shù)學(xué)簡潔之美，數(shù)學(xué)上最重要的5個常數(shù)全部體現(xiàn)在一個公式之中，沒有任何多余的數(shù)字或字母。它就像一行極為完美而簡潔的詩句。三角函數(shù)、泰勒級數(shù)、概率論、群論、復(fù)變函數(shù)、電磁學(xué)、相對論、量子力學(xué)等等，無不源于這5個數(shù)字。而宇宙的終極秘密似乎隱藏在e和π之間的數(shù)字3左右，這個數(shù)字和黃金分割比例、斐波那契數(shù)列有關(guān)，我們看到的大到山川河流、海岸線，小到晶體、貝殼上的螺紋圖案，都是分?jǐn)?shù)維的幾何圖形，里面蘊藏著地球上萬事萬物生壞住滅的客觀規(guī)律，有待人類徹底揭開謎底。

數(shù)學(xué)其實很有趣，關(guān)鍵是有好的學(xué)習(xí)方法，這正是常規(guī)數(shù)學(xué)教材最薄弱之處。人類用數(shù)學(xué)表述自然界是一個認(rèn)知漸進發(fā)展的過程，有很多趣聞故事，幾何數(shù)學(xué)和大自然現(xiàn)象之間存在著巧妙的關(guān)聯(lián)。當(dāng)把這一切串在一起時，就得到了一條璀璨奪目的美麗“珍珠項鏈”，這個過程也變成了審美享受，而不再是枯燥無味的由字母、圖元素和數(shù)字組成的混合物了。再復(fù)雜的數(shù)學(xué)概念都可以推導(dǎo)其源頭的簡單概念，數(shù)字無非0和1，算法無非加減法。舉個例子，乘除法是中級加減法，而微積分不過是高級的加減法而已。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要掌握“降維”思維，立體幾何通過投影轉(zhuǎn)化為平面幾何，一重和雙重積分無非就是求面積或體積。理解了這些，數(shù)學(xué)不但不難，還涵括了宇宙萬物之美。